Question

已知方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為1的等比數(shù)列，則mn=________．

Answer 1

-14
分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和等比數(shù)列性質(zhì)分析，四個根組成的首項為 1的等比數(shù)列的首項與末項的積等于第二項與第三項的積等于-8，從而確定數(shù)列的每一項，再由兩根之和分別為m、n，即可求出結(jié)果．
解答：∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0?x²-mx-8=0 ①或x²-nx-8=0 ②
設(shè)方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，則，x₁x₄=-8，x₁+x₄=m x₂x₃=-8，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為 1的等比數(shù)列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數(shù)列的前四項，且x₁=1，x₄=-8，公比為-2，
∴x₂=-2，x₃=4，
∴m=x₁+x₄=1-8=-7，n=x₂+x₃=-2+4=2，
故則mn=-14．
故答案為：-14．
點評：本題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時要認真觀察，熟練運用性質(zhì)．