【題目】已知數(shù)列, 都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列(相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)),則得到一個(gè)新數(shù)列.
(1)設(shè)數(shù)列、分別為等差、等比數(shù)列,若, , ,求;
(2)設(shè)的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)為正整數(shù), ,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;
(3)設(shè)(是不小于2的正整數(shù)),,是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)任意的,在與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)總是?若存在,請(qǐng)給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)49;(2)或;(3)首項(xiàng),公差的等差數(shù)列符合題意.
【解析】試題分析:
(1)由題意可得 ;
(2)由題意可得等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng),所以. 數(shù)列的前項(xiàng)和或.
(3) 存在等差數(shù)列,只需首項(xiàng),公差.利用題中的結(jié)論可證得此命題成立.
試題解析:
解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
由題意得, ,解得或,因數(shù)列單調(diào)遞增,
所以,所以, ,所以, . 因?yàn)?/span>, , , ,
所以.
(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,又,且,
所以,所以. 因?yàn)?/span>是中的項(xiàng),所以設(shè),即.
當(dāng)時(shí),解得,不滿足各項(xiàng)為正整數(shù);
當(dāng)時(shí), ,此時(shí),只需取,而等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng),所以;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí),只需取,
由,得, 是奇數(shù), 是正偶數(shù), 有正整數(shù)解,
所以等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng),所以. 綜上所述,數(shù)列的前項(xiàng)和或.
(3)存在等差數(shù)列,只需首項(xiàng),公差.
下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為. 即證對(duì)任意正整數(shù),都有,
即成立.
由,
.
所以首項(xiàng),公差的等差數(shù)列符合題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從參加某次高中英語競賽的學(xué)生中抽出100名,將其成績整理后,繪制頻率分布直方圖(如圖所示).其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為: , , , , , .
(Ⅰ)試求圖中的值,并計(jì)算區(qū)間上的樣本數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù);
(Ⅱ)試估計(jì)這次英語競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)及平均成績(結(jié)果精確到).
注:同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面底面,,,,,為的中點(diǎn),側(cè)棱.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且在拋物線的準(zhǔn)線上,點(diǎn)是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 面積的最大值為.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過焦點(diǎn)作兩條平行直線分別交橢圓E于四個(gè)點(diǎn).
①試判斷四邊形能否是菱形,并說明理由;
②求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合,且兩個(gè)坐標(biāo)系的單位長度相同.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)若直線l的斜率為-1,求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為,求直線l的參數(shù)方程(標(biāo)準(zhǔn)形式).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1,平行四邊形中, , ,現(xiàn)將沿折起,得到三棱錐(如圖2),且,點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求三棱錐的體積;
(3)在的角平分線上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天氣預(yù)報(bào)是氣象專家根據(jù)預(yù)測的氣象資料和專家們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過分析推斷得到的,在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)生活中有著重要的意義.某快餐企業(yè)的營銷部門經(jīng)過對(duì)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),企業(yè)經(jīng)營情況與降雨天數(shù)和降雨量的大小有關(guān).
(Ⅰ)天氣預(yù)報(bào)說,在今后的四天中,每一天降雨的概率均為,求四天中至少有兩天降雨的概率;
(Ⅱ)經(jīng)過數(shù)據(jù)分析,一天內(nèi)降雨量的大小(單位:毫米)與其出售的快餐份數(shù)成線性相關(guān)關(guān)系,該營銷部門統(tǒng)計(jì)了降雨量與出售的快餐份數(shù)的數(shù)據(jù)如下:
降雨量(毫米) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
快餐數(shù)(份) | 50 | 85 | 115 | 140 | 160 |
試建立關(guān)于的回歸方程,為盡量滿足顧客要求又不造成過多浪費(fèi),預(yù)測降雨量為6毫米時(shí)需要準(zhǔn)備的快餐份數(shù).(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
附注:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年5月20日,針對(duì)部分“二線城市”房價(jià)上漲過快,媒體認(rèn)為國務(wù)院常務(wù)會(huì)議可能再次確定五條措施(簡稱“國五條”).為此,記者對(duì)某城市的工薪階層關(guān)于“國五條”態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取了人,作出了他們的月收入的頻率分布直方圖(如圖),同時(shí)得到了他們的月收入情況與“國五條”贊成人數(shù)統(tǒng)計(jì)表(如下表):
月收入(百元) | 贊成人數(shù) |
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這人的中位數(shù)和平均月收入;
(2)若從月收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求被選取的人都不贊成的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為,點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)已知點(diǎn),是橢圓上的兩點(diǎn).
(。┤,且為等邊三角形,求的面積;
(ⅱ)若,證明: 不可能為等邊三角形.
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