Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

sinπx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，有下列4個(gè)命題：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2^kf（x+2k）（k∈N^*），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

9

8

，+∞)．
④函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）有3個(gè)零點(diǎn)；
則其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：本題考查三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，先由題意分析條件函數(shù)f（x）定義域?yàn)閤∈[0，+∞），以2為變化區(qū)間的正弦類型的曲線，且當(dāng)x＞2時(shí)，后面每個(gè)周期都是前一個(gè)周期振幅的

1

2

，然后根據(jù)相應(yīng)性質(zhì)判斷命題即可．

解答： 解：①任取x₁、x₂∈[0，+∞），
當(dāng)x₁、x₂∈[0，2]，|f（x₁）-f（x₂）|=|sinπx₁-sinπx₂|≤2，
當(dāng)x∈（2，+∞），f（x）=

1

2

f（x-2）=（

1

2

）ⁿsinnπ，
綜上都有任取x₁、x₂∈[0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，①正確；
②∵f（x）=

1

2

f（x-2），∴f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），∴f（x）=2^kf（x+2k）（k∈N^*），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立，②正確；
③對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，則有k≥xf（x），|f（x）|≤1，當(dāng)x→∞，xf（x）→∞，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

9

8

，+∞)錯(cuò)誤．
④函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)x=2時(shí)，y=sin2π-ln1=0，
而f（x）=sinπx是周期為2的類正線曲線；當(dāng)x＞2時(shí)，f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），圖象只發(fā)生振幅變化，
y=ln（x-1）為對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx圖象向右平移1個(gè)單位得到，過定點(diǎn)（2，0），
做上述兩函數(shù)圖象可知：當(dāng)1＜x＜2以及x＞2時(shí)兩圖象各有一交點(diǎn)，
則f（x）=有3個(gè)零點(diǎn)正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本體解題的關(guān)鍵是對(duì)于函數(shù)的理解，能順利做出函數(shù)的草圖，利用圖象及三角函數(shù)值得有界性解題．