Question

已知多項式．
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）試探求對一切整數(shù)n，f（n）是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù) ，直接求出f（1）和f（-1）的值．
（2）對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．（1）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．再證n=0時，
f（0）是整數(shù)，再證當n為負整數(shù)時，令n=-m，m是正整數(shù)，證明f（-m）是整數(shù)，從而命題得證．
解答：解：（1）∵，∴f（1）=1； f（-1）=0．
（2）對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．證明如下：
（1）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．
①當n=1時，f（1）=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)當n=k（k≥1，k∈N^*）時，結(jié)論成立，即是整數(shù)，
則當n=k+1時，==f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1，
根據(jù)假設(shè)f（k）是整數(shù)，而k⁴+4k³+6k²+4k+1顯然是整數(shù)，故f（k+1）是整數(shù)，從而當n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①、②可知對對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．…（7分）
（2）當n=0時，f（0）=0是整數(shù)．…（8分）
（3）當n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由（1）f（m）是整數(shù)，
所以==-f（m）+m⁴是整數(shù)．
綜上，對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．…（10分）
點評：本題主要考查二項式定理、用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題，推出當n=k+1時命題也成立，是解題的關(guān)鍵和難點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．