Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓x²+3y²=1上的兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）設(shè)，，（θ∈R）．求證：點M在橢圓上；
（Ⅱ）若，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），根據(jù)條件，可求得x²+3y²=1，從而可證得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，可求得A，B兩點的坐標，代入x²+3y²=1，可整理得，應(yīng)用基本不等式可求得，從而，問題解決．
解答：證明：（Ⅰ）∵，
∴x₁x₂+3y₁y₂=0，
又，
設(shè)M（x，y），則（x，y）=（x₁cosθ，y₁cosθ）+（x₂sinθ，y₂sinθ）=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），
則x²+3y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+3（y₁cosθ+y₂sinθ）²=（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓x²+3y²=1上的兩點，
∴x₁²+3y₁²=1，x₂²+3y₂²=1，又x₁x₂+3y₁y₂=0，
∴（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）=cos²θ+sin²θ=1．故點M在橢圓上．
（Ⅱ）設(shè)|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，
則
則
從而，
故．
∴．
的最小值為．
點評：本題考查橢圓的參數(shù)方程，難點在于解題思路的突破及基本不等式的靈活運用，屬于難題．