Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=3，點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線（n∈N*）上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線（n∈N*）上，得，對(duì)此式兩邊同除以n+1，得到，可證得結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，能求得S_n，根據(jù)，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）把（II）求得的結(jié)果代入，利用分組求和法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，再證明不等式即可．
解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線（n∈N*）上，
，
同除以n+1，則有：
∴數(shù)列{}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n（n∈N*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2n+1（n∈N*）．
∵，∴b_n=（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
T_n=3•2³+5•2⁵++（2n-1）•2^2n-1+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹4T_n
=3•2⁵++（2n-3）2^2n-1+（2n-1）2²ⁿ⁺¹+（2n+1）2²ⁿ⁺³
解得：T_n=．
（Ⅲ）∵=
∴
．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問題（Ⅲ）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來(lái)，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．