Question

第30屆奧運(yùn)會(huì)將于2012年7月27日在倫敦舉行，當(dāng)?shù)啬硨W(xué)校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．將這20名志愿者的身高如下莖葉圖（單位：cm）：
若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個(gè)子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”．
（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，如果從這5人中隨機(jī)選2人，那么至少有1人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個(gè)子”中隨機(jī)選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）確定“高個(gè)子”，“非高個(gè)子”的人數(shù)，利用用分層抽樣的方法，可得每個(gè)人被抽中的概率，利用對(duì)立事件即可求解；
（Ⅱ）由于從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3，在利用古典概型的概率公式求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)事件的概率，由期望的公式求出即可．

解答：解：（I）根據(jù)莖葉圖可知，這20名志愿者中有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，用分層抽樣的方法從中抽出5人，則每個(gè)人被抽到的概率為

5

20

=

1

4

，所以應(yīng)從“高個(gè)子”中抽8×

1

4

=2人，從“非高個(gè)子”中抽12×

1

4

=3人．
用事件A表示“至少有一名‘高個(gè)子’被選中”，則它的對(duì)立事件

.

A

表示“沒有一名‘高個(gè)子’被選中”，則P(A)=1=P(

.

A

)=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

，
因此至少有1人是“高個(gè)子”的概率是

7

10

；
（II）依題意知，所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)X的所有可能為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 3 4

C 3 8

=

1

14

，P(X=1)=

C 1 4 C 2 4

C 3 8

=

3

7

，P(X=2)=

C 2 4 C 1 4

C 3 8

=

3

7

，P(X=3)=

C 3 4

C 3 8

=

1

14

因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 14	3 7	3 7	1 14

所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

14

+1×

3

7

+2×

3

7

+3×

1

14

=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機(jī)事件的概率、對(duì)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)．