Question

在等比數(shù)列{a_n}（q≠1）中，已知a₁=1，a₄=8．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）求S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公比，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）利用錯(cuò)誤相減法即可求S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

解答： 解：（1）在等比數(shù)列中，a₄=q³=8，
解得q=2，則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1； 
（2）∵a_n=2^n-1，
∴na_n=n•2^n-1，
則S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①一②得-S_n=1+2+2²+2³+…+•2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
則S_n=（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，要求熟練掌握求數(shù)列和的幾種常見方法，錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．