已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．
（1）∵離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上，∴
5
a2
-
3
b2
=1
c
a
=2
c2=a2+b2
，解得
a2=4
b2=12
c2=16
．
故所求雙曲線的方程為
x2
4
-
y2
12
=1．
（2）設(shè)直線OP方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立3x2-y2=12．
聯(lián)立
y=kx
3x2-y2=12
解得
x2=
12
3-k2
y2=
12k2
3-k2
，∴|OP|2=x2+y2=
12(k2+1)
3-k2
．
則OQ方程為y=-
1
k
x，同理解得|OQ|2=
12(k2+1)
3k2-1
．．
∴
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
=
3-k2+3k2-1
12(k2+1)
=
1
6
．是定值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（2
2
，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn)，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　�。�
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+1與曲線x=
1-4y2
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
3
，過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x，且經(jīng)過點(diǎn)(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F1，F(xiàn)2為雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在同一坐標(biāo)系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1與bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲線大致是（　　）
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊答案