Question

6．如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，點M，N分別是AE，CD的中點．
求證：（1）直線MN∥平面EBC；
（2）直線EA⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （1）取BE中點F，連結(jié)CF，MF，證明四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF，即可證明直線MN∥平面EBC；
（2）證明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC?平面EBC，即可證明直線EA⊥平面EBC．

解答 證明：（1）取BE中點F，連結(jié)CF，MF，
又M是AE的中點，所以MF=$\frac{1}{2}$AB，
又N是矩形ABCD邊CD的中點，
所以NC=$\frac{1}{2}$AB，所以MF平行且等于NC，
所以四邊形MNCF是平行四邊形，…（4分）
所以MN∥CF，
又MN?平面EBC，CF?平面EBC，
所以MN∥平面EBC．…（7分）
（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB，…（10分）
又EA?平面EAB，所以BC⊥EA，
又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC?平面EBC，
所以EA⊥平面EBC．…（14分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．