Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，平行于的切線以為切點(diǎn)，求證：．

Answer 1

(Ⅰ)(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增  (Ⅱ)   （Ⅲ）見(jiàn)解析

（Ⅰ）記，則的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131347843391.gif" style="vertical-align:middle;" />．
當(dāng)時(shí)，因，
所以在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．……4分
（Ⅱ）由．
令．
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，且．
所以在處取到最大值．
所以要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需．…………9分
（III）由已知：，所以．
=．
設(shè)得： ．
構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在當(dāng)時(shí)是增函數(shù)．
于是，時(shí)，，則，得成立．
同理，可證得成立，從而求證成立．……………………15分