Question

9．己知函數f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其中a∈R．
（1）若f（x）有極值，求a的取值范圍；
（2）若f（x）有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，求證：$①f（\frac{a^2}{4}）＜0；②{x_1}+{x_2}+{x_3}$＞3
（參考數值：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據二次函數的性質求出a的范圍即可；
（2）①求出f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）的解析式，求出函數的導數，根據a的范圍結合函數的單調性判斷即可；②根據f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（1）=0，設出3個零點，從而證出結論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）的定義域是（0，+∞），
∴ax²-2x+a=0有2個不相等的正根，顯然a≠0，
由x₁x₂=1＞0，得：$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜1；
（2）①f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
由f（x）有3個極值點，
得ax²-2x+a=0有2個不相等的實數根，
由（1）得：0＜a＜1，
令h（a）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，a∈（0，1），
h′（a）=$\frac{{3a}^{4}+16（1-a）}{{a}^{2}}$，
顯然h′（a）＞0，故h（a）在（0，1）遞增，
故h（a）＜h（1）=4ln2-$\frac{15}{4}$＜0，
故f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）＜0，
②∵f（$\frac{1}{x}$）=a（$\frac{1}{x}$-x）-2ln$\frac{1}{x}$=-f（x），
又f（1）=0，得：f（x）的3個零點依次可表達為t，1，$\frac{1}{t}$，t∈（0，1），
故x₁+x₂+x₃=t+1+$\frac{1}{t}$＞2+1=3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．