Question

9．已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線兩支上，求k的范圍？
（3）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在雙曲線同一支上，求k的范圍？
（4）求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1聯(lián)立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，由△＞0，且3-k²≠0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線兩支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0
（3）要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號(hào)；
（4）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，繼而可解得k的值．檢驗(yàn)成立．

解答 解：（1）直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1聯(lián)立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$；
（2）A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線兩支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0，
∴-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上．
（3）若要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號(hào)，
故$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＞0，
∴k＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{6}$時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上；
（4）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即2•$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k•$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$+1+$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$=0，
∴$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，解得k=±1．
經(jīng)檢驗(yàn)，k=±1滿足題目條件，
則存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．