Question

如圖，已知圓E：，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；

（2）已知A，B，C是軌跡的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）存在最小值．點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)QF，由于線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）首先考慮直線AB的斜率為0或斜率不存在的情況，此時(shí)易得．當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為，將△ABC的面積用含k的式子表示出來，然后利用重要不等式求其最小值.

（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓． 2分

設(shè)其方程為，可知，，則， 3分

所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為為． 4分

（2）存在最小值． 5分

（ⅰ）當(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，可知點(diǎn)C就是橢圓的上、下頂點(diǎn)（或左、右頂點(diǎn)），則． 6分

（ⅱ）方法一、當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為，設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立方程組消去y得，，

由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足，，則，， 8分

則． 9分

由于，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

綜合（ⅰ）（ⅱ），當(dāng)時(shí)，△ABC的面積取最小值， 11分

此時(shí)，，即，，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分

方法二、前同（ⅰ），記，則，所以，

故，

當(dāng)，即時(shí)，有最大值，此時(shí)取得最小值．

綜合（�。�（ⅱ），當(dāng)時(shí)，△ABC的面積取得最小值． 11分

此時(shí)，，即，，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分

方法三、設(shè)，，根據(jù)A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

則，所以，

由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，，，

由， ①

且點(diǎn)C在橢圓上，則 ②

聯(lián)立①②，解得，，所以， 8分

所以， 9分

又，即，所以，

記，，，

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

綜合（�。�（ⅱ），當(dāng)時(shí)，有最小值． 11分

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，． 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關(guān)系；3、最值問題.