設已知點A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值．
（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3）．  …（2分）
由|
AC
|=|
BC
|，得
(cosα-3)2+sin2α
=
cos2α+(sinα-3)2
．
即cosα=sinα．                          …（4分）
∵
π
2
＜α＜
3π
2
，
∴α=
5π
4
．…（6分）
解法二：∵|
AC
|=|
BC
|，
∴點C在直線y=x上．…（3分）
則sinα=cosα．  …（4分）
∵α∈（
π
2
，
3π
2
），
∴α=
5π
4
．…（6分）
（Ⅱ）
2cos2α+sin2α
1+cotα
=
2cos2α+2sinαcosα
1+
cosα
sinα

=
2cosα(cosα+sinα)
sinα+cosα
sinα
=2sinαcosα．…（8分）
由
AC
•
BC
=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=
2
3
．
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
4
9
，即2sinαcosα=-
5
9
． …（12分）
∴
2cos2α+sin2α
1+cotα
=-
5
9
．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O是坐標原點，已知點A(3 ， 
3
)，點P（x，y）的坐標滿足
3
x-y≤0
x-
3
y+2≥0
y≥0
，設z為
OA
在
OP
上的投影，則z的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點M(-3，0)，N(3，0)，設P(x，y)是曲線
|x|
5
+
|y|
4
=1上的點，則下列式子恒成立的是（　�。�
A、|PM|+|PN|=10
B、|PM|-|PN|=10
C、|PM|+|PN|≥10
D、|PM|+|PN|≤10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設已知點A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2cos2α+sin2α
1+cotα
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省贛榆高級中學2007－2008學年度高三第三次階段考試數(shù)學試題(理) 題型：044

已知點A(3，0)，B(0，3)，C(cosx，sinx)，x∈R

(1)若，且x∈[0，2π)，求x的值

(2)設函數(shù)，求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值時x的值

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