Question

15．如果對(duì)定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”．
給出下列函數(shù)①y=x²；  ②y=e^x+1； ③y=-2x-sin x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；⑤f（x）=xe^x（x＞-1）．
以上函數(shù)是“M函數(shù)”的所有序號(hào)為③．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)新定義的理解得到函數(shù)f（x）為定義域R上的減函數(shù)；分別對(duì)5個(gè)函數(shù)判斷單調(diào)性，從而得到答案．

解答 解：由不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）得，
x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]＜0，
即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
故x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)，
所以函數(shù)f（x）為定義域R上的減函數(shù)；
①y=x²，先減后增； ②y=e^x+1，增函數(shù)； 
③y=-2x-sin x，y′=-2-cosx＜0，減函數(shù)；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx是增函數(shù)，
⑤f（x）=xe^x（x＞-1），f′（x）=e^x（x+1）＞0，增函數(shù)，
故答案為：③

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．