Question

某超市為促銷商品，特舉辦“購物有獎100%中獎”活動，凡消費者在該超市購物滿100元，享受一次搖獎機會，購物滿200元，享受兩次搖獎機會，以此類推.搖獎機的結構如圖所示，將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落。小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋為一等獎，獎金為20元，落入B袋為二等獎，獎金為10元，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是。
（Ⅰ）求：搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；
（Ⅱ）某消費者購物滿200元，搖獎后所得獎金為X元，試求X的分布列與期望；
（Ⅲ）若超市同時舉行購物八八折讓利于消費者活動（打折后不再享受搖獎），某消費者剛好消費200元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算。

Answer 1

解：記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B， 則小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下， 故，， （Ⅰ）獲得兩次一等獎的概率為； （Ⅱ）X可以取20，30，40， P(X=20)=，P(X=30)=， P(X=40)=， 所以，分布列為： X 20 30 40 P 所以，EX=20×+30×+40×=25。 （Ⅲ）參加搖獎，可節(jié)省25元，打折優(yōu)惠，可節(jié)省24元，參加搖獎。