Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，設(shè)b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n≤

1

4

m²+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入到b_n+2=3log

1

4

a_n中，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把第一問求出的兩數(shù)列的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n•b_n中，確定出c_n的通項(xiàng)公式，表示出c_n+1-c_n，判斷得到其差小于0，故數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，令n=1求出數(shù)列{c_n}的最大值，然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值，列出關(guān)于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即為實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，a_n=(

1

4

)n（n∈N^*），
易得b_n=3log

1

4

a_n-2=3n-2；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(

1

4

)n，
∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(

1

4

)n+1-（3n-2）•(

1

4

)n=9（1-n）•(

1

4

)n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₂=c₁=

1

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…＞c_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，c_n取最大值是

1

4

，又c_n≤

1

4

m²+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，
∴

1

4

m²+m-1≥

1

4

，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

點(diǎn)評：此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)列與不等式的綜合．要求學(xué)生熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件．