【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD, ,四邊形ACFE為矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.
(1)求證:EF⊥平面BCF;
(2)點(diǎn)M在線段EF(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí),平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=CD=BC=1,
又∵ ,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3.…∴AB2=AC2+BC2.∴BC⊥AC.…
∵CF⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥CF,… 而CF∩BC=C,∴AC⊥平面BCF.…
∵EF∥AC,∴EF⊥平面BCF.…
(2)由(1)可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸,y軸,z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,
令FM=λ( ),則C(0,0,0),A(
,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),…
∴ =(﹣
,1,0),
=(λ,﹣1,1),
設(shè) 為平面MAB的一個(gè)法向量,
由 得
取x=1,則
=(1,
,
),…
∵ =(1,0,0)是平面FCB的一個(gè)法向量,
∴ =
.
∵ ,∴當(dāng)λ=0時(shí),cosθ有最小值
,…
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí),平面MAB與平面FCB所成二面角最大,此時(shí)二面角的余弦值為 .
【解析】1、由題意可得AB=2,∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3.∴AB2=AC2+BC2.∴BC⊥AC.根據(jù)線面垂直的判定定理可得EF⊥平面BCF2;
2、建立空間直角坐標(biāo)系由向量可得c o s θ==
,∵
,∴當(dāng)λ=0時(shí),cosθ有最小值
,點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí),平面MAB與平面FCB所成二面角最大,此時(shí)二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若△ABC的三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)邊a、b、c滿足2a=b+c,則角A的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏.將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí),隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.
(Ⅰ)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?
優(yōu)秀 | 合格 | 合計(jì) | |
大學(xué)組 | |||
中學(xué)組 | |||
合計(jì) |
注:K2 ,其中n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 7.879 |
(Ⅱ)若江西參賽選手共80人,用頻率估計(jì)概率,試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù);
(Ⅲ)如果在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取4名,在良好等級(jí)的選手中取2名,再?gòu)倪@6人中任選3人組成一個(gè)比賽團(tuán)隊(duì),求所選團(tuán)隊(duì)中的有2名選手的等級(jí)為優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司推廣線下分店,計(jì)劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店,為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),y表示這x個(gè)分店的年收入之和.
x(個(gè)) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(百萬(wàn)元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤(rùn)z(單位:百萬(wàn)元)與x,y之間的關(guān)系為z=y﹣0.05x2﹣1.4,請(qǐng)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店時(shí),才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大?
(參考公式: ,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如下表:
表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位,百位,萬(wàn)位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬(wàn)位用橫式表示,以此類推,例如6613用算籌表示就是: ,則算籌式
表示的數(shù)字為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第五屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華于2017年3月11日至5月7日在昌平區(qū)興壽鎮(zhèn)草莓博覽園中舉辦,設(shè)置“三館兩園一帶一谷一線”八大功能板塊.現(xiàn)安排六名志愿者去其中的“三館兩園”參加志愿者服務(wù)工作,若每個(gè)“館”與“園”都至少安排一人,則不同的安排方法種數(shù)為( �。�
A.C A
B.5C A
C.5A
D.C A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E為AD的中點(diǎn),AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4.
(Ⅰ)求證:平面PCD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱CD上是否存在點(diǎn)M,使得AM⊥平面PBE?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:千輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究,在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
租用單車數(shù)量x(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一輛車平均成本y(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: (1)=
+1.1,方程乙:
(2)=
+1.6.
(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):
①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: =yi﹣
,
稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi , yi)的殘差(也叫隨機(jī)誤差);
租用單車數(shù)量x(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一輛車平均成本y(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計(jì)值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | ﹣0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計(jì)值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2 , 并通過比較Q1 , Q2的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.
(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這個(gè)城市投放8千輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬(wàn)輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元的概率分別為0.4,0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,利潤(rùn)=收入﹣成本).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,點(diǎn)
在拋物線
上.
(1)求 的方程和
的焦點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn) 為準(zhǔn)線與
軸的交點(diǎn),直線
過點(diǎn)
,且與直線
垂直,求證:
與
相切.
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