Question

（文科）雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn) F₁作傾斜角為30°的直線l，l與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上，則雙曲線的漸近線方程為（ ）

A．y=±
B．y=±
C．y=±
D．y=±2

Answer 1

【答案】分析：由于線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上，連接MF₂，則|MF₁|=|MF₂|=|PM|=|PF₁|⇒△PF₁F₂為直角三角形，△PMF₂為等邊三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a⇒c=a，由c²=a²+b²可求得b=a，于是 雙曲線的漸近線方程可求．
解答：解：連接MF₂，由過(guò)點(diǎn) PF₁作傾斜角為30°，線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，
∴△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形，
∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a
∴c=a，又c²=a²+b²，
∴3a²=a²+b²，
∴b=a，
∴雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±=±x．   
故選 C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是對(duì)雙曲線定義的靈活應(yīng)用及對(duì)三角形△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形的分析與應(yīng)用，屬于難題．