Question

（1）在學習函數(shù)的奇偶性時我們知道：若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（0，0）成中心對稱圖形，則有函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，反之亦然；現(xiàn)若有函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形，則有與y=f（x）相關(guān)的哪個函數(shù)為奇函數(shù)，反之亦然．
（2）將函數(shù)g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解釋式，并利用（1）的性質(zhì)求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標；
（3）利用（1）中的性質(zhì)求函數(shù)h（x）=log₂

1-x

4x

圖象對稱中心的坐標，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形，則將函數(shù)圖象平移后，對稱中心與原點重合時，該函數(shù)為奇函數(shù)，此時應(yīng)向左平移a個單位，再向下平移b個單位，根據(jù)平移變換法則，可得答案．
（2）根據(jù)平移變換法則，可得函數(shù)g（x）=x³+6x²的圖象平移后對應(yīng)的函數(shù)解析式，分析其奇偶性后，結(jié)合（1）中結(jié)論可得原函數(shù)的對稱中心．
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=log₂

1-x

4x

圖象向左平移a個單位，再向下平移b個單位后關(guān)于原點對稱，即對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，可求出a，b的值，結(jié)合（1）的結(jié)論可得原函數(shù)的對稱中心的坐標．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形，
則將函數(shù)圖象平移后，對稱中心與原點重合時，該函數(shù)為奇函數(shù)，
此時應(yīng)向左平移a個單位，再向下平移b個單位，
此時函數(shù)的解析式為：y=f（x+a）-b
（2）函數(shù)g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，
所得函數(shù)y=（x-2）³+6（x-2）²-16，化簡得y=x³為奇函數(shù)，即y=g（x-2）-16為奇函數(shù)，
故函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標為（-2，16）
（3）設(shè)y=h（x+a）-b=log₂

1-(x+a)

4(x+a)

-b=log₂

1-x-a

4x+4a

-b是奇函數(shù)，
則log₂

1+x-a

-4x+4a

-b+（log₂

1-x-a

4x+4a

-b）=0，
即log₂（

1+x-a

-4x+4a

•

1-x-a

4x+4a

）-2b=0，即log₂

(1-a)2-x2

16(a2-x2)

-2b=0，
得

(1-a)2-x2

16(a2-x2)

=2^2b，得（1-a）²-x²=2^2b（16a²-16x²），
即（16•2^2b-1）x²+（1-a）²-2^2b•16a²=0．
由x的任意性，得16•2^2b-1=0，（1-a）²-2^2b•16a²=0，
解得b=-2，a=

1

2

．
∴函數(shù)h（x）圖象對稱中心的坐標為（

1

2

，-2）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的平移變換，奇函數(shù)的定義和判定，熟練掌握函數(shù)圖象的平移變換法則“左加右減，上加下減”是解答的關(guān)鍵．