Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，2a_n+1=a_n，若對于任意n∈N^*，當(dāng)t∈[-1，1]時，不等式x²+tx+1＞S_n恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得：S_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，由題意可得x²+tx+1≥2，對于任意n∈N^*，當(dāng)t∈[-1，1]時恒成立，可知$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）={x}^{2}-x-1≥0}\\{f（1）={x}^{2}+x-1≥0}\end{array}\right.$，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得實數(shù)x的取值范圍．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，2a_n+1=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
S_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
對于任意n∈N^*，當(dāng)t∈[-1，1]時，不等式x²+tx+1＞S_n恒成立，
∴x²+tx+1≥2，
x²+tx-1≥0，
令f（t）=tx+x²-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）={x}^{2}-x-1≥0}\\{f（1）={x}^{2}+x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或x≤$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∴實數(shù)x的取值范圍（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查等比數(shù)列前n項和公式，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，一元二次不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題．