Question

已知二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（4，3），它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求函數(shù)解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（2-x）=f（2+x），可知二次函數(shù)的對稱軸為x=2，再結(jié)合在x軸上截得的線段長為2，得到f（x）與x軸的交點是x₁=1，x₂=3，再設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），利用待定系數(shù)法求a．

解答： 解：∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）關(guān)于x=2對稱；
∵f（x）在x軸上截得的線段長為2，且f（x）與x軸的交點關(guān)于x=2對稱，
∴f（x）與x軸的交點是x₁=1，x₂=3，
∴設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），
∵經(jīng)過點（4，3），即f（4）=3
代入得a（4-1）（4-3）=3
得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵要明確“在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x）”的含義，正確解讀，得到二次函數(shù)的信息．