Question

數(shù)列{

1

(2n-1)(2n+1)

}的前n項(xiàng)和是S_n=

 

，使S_n＜T恒成立的最小正整數(shù)T是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{

1

(2n-1)(2n+1)

}的前n項(xiàng)和是S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵數(shù)列{1-

1

2n+1

}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴S_n＜

1

2

×1，
因此使S_n＜T恒成立的最小正整數(shù)T是1．
故答案分別為：

n

2n+1

，1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．