Question

如圖，在棱長都相等的四面體ABCD中，點E是棱AD的中點，

(1)設側面ABC與底面BCD所成角為α，求tanα．

(2)設CE與底面BCD所成角為β，求cosβ．

(3)在直線BC上是否存在著點F，使直線AF與CE所成角為90°，若存在，試確定F點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連AF、DF，由△ABC及△BDC是正三角形，F為BC中點，得AF⊥BC，DF⊥BC，AF＝DF 　　∴∠AFD為二面角A－BC－D的平面角 　　 　　∴面ADF⊥面BCD 　　在面ADF中，過E作EG⊥DF，則EG⊥面BCD，連CG，則∠ECG＝β 　　又AF＝DF，E為AD中點，故EF⊥AD 　　 　　法二：設AO⊥面BCD于O，則O為等邊三角形，BCD為中心，設BC中點為M，CD中點為N，以O為坐標原點，OM所在直線為x軸，ON所在直線為y軸，OA所在直線為y軸建立直角坐標系0－xyz，設棱長為2a，則0(0，0，0)，A(0，0，a)