Question

已知向量

a

=（-1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（k，t）．
（Ⅰ）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求向量

OB

；
（Ⅱ）若向量

AC

與向量

a

共線，且tk取最大值時(shí)，求

OA

•

OC

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：本題（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于n，t的方程組，求出方程組的解即可；（2）向量

AC

向與量

a

共線，得出t，k的關(guān)系式，根據(jù)tk的最大值，求出k，t的值，得到

OA

•

OC

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A（8，0），B（n，t），
∴

AB

=(n-8，t)，

OA

=(8，0)．
∵向量

a

=（-1，2），

AB

⊥

a

，
∴8-n+2t=0，
∴n=2t+8．①
又∵|

AB

|=

5

|

OA

|，
∴（n-8）²+t²=5×64．②
∴t=±8．
當(dāng)t=8時(shí)，n=24；當(dāng)t=-8時(shí)，n=-8．
∴

OB

=（24，8）或

OB

=（-8，-8）
（2）∵點(diǎn)A（8，0），C（k，t），
∴

AC

=(k-8，t)．
∵向量

a

=（-1，2），向量

AC

與向量

a

共線，
∴t=16-2k．
∴tk=（16-2k）k=-2k²+16k=-2（k-4）²+32≤32，
∴當(dāng)tk最大時(shí)，k=4，t=8，
此時(shí)，

OA

•

OC

=8k+t=40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線、垂直的坐標(biāo)表示、向量的模的計(jì)算，函數(shù)最值求解，分類討論、計(jì)算等思想方法和能力，屬于中檔題．