Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，${a_{n+1}}=2-\frac{1}{a_n}$，數(shù)列{b_n}中，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$，其中n∈N^*；
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：b₁=1，b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$．作差b_n+1-b_n=1=常數(shù)，即可證明．
（2）b_n=1+n-1=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），即可得出．

解答 （1）證明：數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}中，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
∴b₁=1，∵b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$．
∴b_n+1-b_n═$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1=常數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，等差為1．
（2）解：b_n=1+n-1=n，
S_n=（1+2+3+4+…n）=$\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$=$2[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數(shù)列的定義通項公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．