Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若方程有唯一解，試求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）求,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率,再求可得切點(diǎn)．根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程．（2）．即．令,求導(dǎo)．討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間．根據(jù)單調(diào)性可求函數(shù)在上的最值．根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析可得的值．

試題解析：解 （1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070906030078045784/SYS201507090603076870225992_DA/SYS201507090603076870225992_DA.013.png">，所以切線的斜率．

又f（1）＝1，故所求的切線方程為．即．

（2）原方程等價(jià)于，

令，則原方程即為．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖象在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)．

又，且，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

即在上單調(diào)遞增，在（0,4）上單調(diào)遞減，故在x＝4處取得最小值，

又且無(wú)限趨近0時(shí)，無(wú)限趨近正無(wú)窮大，無(wú)限趨近正無(wú)窮大時(shí)，也無(wú)限趨近正無(wú)窮大

從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是．

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．