Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，則點(diǎn)集{P|

OP

=x

OA

+y

OB

，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的區(qū)域的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，

OP

=x

OA

+y

OB

，不妨設(shè)

OA

=（2，0），

OB

=（m，n），利用

m2+n2

=2，2m=2，
解得m=1，n=

3

．可得

OP

=x

OA

+y

OB

=(2x+y，

3

y)．令a=2x+y，b=

3

y，解得y=

3 b

3

，x=

1

2

a-

3

6

b，
由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得|

1

2

a-

3

6

b|+

3

3

|b|≤1，對(duì)a，b分類討論，畫出圖形，可得（a，b）滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．即可得出．

解答： 解：∵|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，
不妨設(shè)

OA

=（2，0），

OB

=（m，n），
∴

m2+n2

=2，2m=2，
解得m=1，n=

3

．
∵

OP

=x

OA

+y

OB

，=x（2，0）+y(1，

3

)=(2x+y，

3

y)．
令a=2x+y，b=

3

y，
解得y=

3 b

3

，x=

1

2

a-

3

6

b，
由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得|

1

2

a-

3

6

b|+

3

3

|b|≤1，
對(duì)a，b分類討論，畫出圖形，可得（a，b）滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．
可得（a，b）滿足的區(qū)域的面積為4×

1

2

×2×

3

=4

3

．
故答案為：4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)、的面積，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．