Question

已知函數(shù)f（x）=sinx•cosx+cos²x-

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]的值域；
（3）若f（

θ

2

）=

2 2

5

，θ∈[

π

4

，

3π

4

]，求sinθ．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，由三角函數(shù)的周期性及其求法可求f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)已知，先求2x+

π

4

的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求sin（2x+

π

4

）的取值范圍，從而可求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]的值域；
（3）根據(jù)已知，可求得可解得：sinθ+cosθ=

4 2

5

，由同角三角函數(shù)的關(guān)系式可得1-sin²θ=（

4 2

5

-sinθ）²，從而可求sinθ．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx•cosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-

1

2

≤

2

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

2

，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]的值域?yàn)閇-

1

2

，

2

2

]；
（3）∵f（

θ

2

）=

2 2

5

，∴

2

2

sin（2×

θ

2

+

π

4

）=

2 2

5

，可解得：sinθ+cosθ=

4 2

5

．
∵θ∈[

π

4

，

3π

4

]，∴sinθ＞0
∴1-sin²θ=（

4 2

5

-sinθ）²
∴可解得：sinθ=

2

10

或者

7 2

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基本知識(shí)的考查，屬于中檔題．