Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x，數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．試比較+++…+與1的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：由f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），知a_n+1≥（a_n+1）²-1．由函數(shù)g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，由此猜想：a_n≥2ⁿ-1．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1．
∵函數(shù)g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，
由此猜想：a_n≥2ⁿ-1．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：
①當(dāng)n=1時(shí)，1=a₁≥2¹-1=1，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k≥2^k-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
由g（x）=（x+1）²-1在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1，
即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①、②知，對(duì)任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ-1．
即1+a_n≥2ⁿ，∴≤，
∴+++…+≤+++…+=1-（）ⁿ＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．