Question

函數f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求得函數的導數，利用函數在某一點處導數的幾何意義：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程組求解參數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中得到的函數解析式y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，轉化為方程
f（x）=有三個不相等的實根，進一步轉化為函數g（x）=f（x）-的圖象與x軸有三個不同的交點，于是利用函數導數可得新函數g（x）的極值，通過判斷極值的符號可得結論．
（Ⅲ）根據函數f（x）=x³-6x²+9x+3，可知極值點為A（1，7），B（3，3），進而證明線段AB中點P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關于點P（2，5）成中心對稱．
解答：解：（Ⅰ）由題意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3，
∵圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
∴x=2時，y=5，即f（2）=5，
∴即
解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，
∴=x²+x+3+m，
則由題意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），
則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

x				4	（4，+∞）
g'（x）	+		-		+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數f（x）的極大值為，極小值為g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同交點，則有：
解得．（8分）
（Ⅲ）存在點P滿足條件．（9分）
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f'（x）=0，得x₁=1，x₂=3．
當x＜1時，f'（x）＞0；當1＜x＜3時，f'（x）＜0；當x＞3時，f'（x）＞0．
可知極值點為A（1，7），B（3，3），線段AB中點P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關于點P（2，5）成中心對稱．
證明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7，
∴f（x）+f（4-x）=10．
上式表明，若點A（x，y）為曲線y=f（x）上任一點，其關于P（2，5）的對稱點A（4-x，10-y）也在曲線y=f（x）上，曲線y=f（x）關于點P（2，5）對稱．
故存在點P（2，5），使得過該點的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形，這兩個封閉圖形的面積相等．…（12分）
點評：本題考查函數的導數以及導數的幾何意義，利用導數求解函數的單調性和極值問題，考查了函數的對稱性，考查了函數與方程的思想，轉化與化歸的思想，綜合性強．