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函數f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數y=f(x)的圖象與的圖象有三個不同的交點,求實數m的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在點P,使得過點P的直線若能與曲線y=f(x)圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積相等?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)求得函數的導數,利用函數在某一點處導數的幾何意義:f'(2)=-3以及f(2)=5,列方程組求解參數.
(Ⅱ)由(Ⅰ)中得到的函數解析式y=f(x)的圖象與的圖象有三個不同的交點,轉化為方程
f(x)=有三個不相等的實根,進一步轉化為函數g(x)=f(x)-的圖象與x軸有三個不同的交點,于是利用函數導數可得新函數g(x)的極值,通過判斷極值的符號可得結論.
(Ⅲ)根據函數f(x)=x3-6x2+9x+3,可知極值點為A(1,7),B(3,3),進而證明線段AB中點P(2,5)在曲線y=f(x)上,且該曲線關于點P(2,5)成中心對稱.
解答:解:(Ⅰ)由題意得f'(x)=3ax2-12ax+3b,f'(2)=-3,
∵圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0.
∴x=2時,y=5,即f(2)=5,

解得a=1,b=3,
∴f(x)=x3-6x2+9x+3.(4分)
(Ⅱ)由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,
=x2+x+3+m,
則由題意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根,
即g(x)=x3-7x2+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點,g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
則g(x),g'(x)的變化情況如下表.
x4(4,+∞)
g'(x)+-+
g(x)極大值極小值
則函數f(x)的極大值為,極小值為g(4)=-16-m.(6分)
y=f(x)的圖象與的圖象有三個不同交點,則有:
解得.(8分)
(Ⅲ)存在點P滿足條件.(9分)
∵f(x)=x3-6x2+9x+3,
∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
由f'(x)=0,得x1=1,x2=3.
當x<1時,f'(x)>0;當1<x<3時,f'(x)<0;當x>3時,f'(x)>0.
可知極值點為A(1,7),B(3,3),線段AB中點P(2,5)在曲線y=f(x)上,且該曲線關于點P(2,5)成中心對稱.
證明如下:
∵f(x)=x3-6x2+9x+3,
∴f(4-x)=(4-x)3-6(4-x)2+9(4-x)+3=-x3+6x2-9x+7,
∴f(x)+f(4-x)=10.
上式表明,若點A(x,y)為曲線y=f(x)上任一點,其關于P(2,5)的對稱點A(4-x,10-y)也在曲線y=f(x)上,曲線y=f(x)關于點P(2,5)對稱.
故存在點P(2,5),使得過該點的直線若能與曲線y=f(x)圍成兩個封閉圖形,這兩個封閉圖形的面積相等.…(12分)
點評:本題考查函數的導數以及導數的幾何意義,利用導數求解函數的單調性和極值問題,考查了函數的對稱性,考查了函數與方程的思想,轉化與化歸的思想,綜合性強.
練習冊系列答案
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有下列命題:
①若f(x)存在導函數,則f′(2x)=[f(2x)]′.
②若函數h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π12
)=1
;
③若函數g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010),則g′(2010)=2009!.
④若三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值點”的充要條件.
其中真命題的序號是
 

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18、已知函數f(x)=ax3-6ax2+b(x∈[-1,2])的最大值為3,最小值為-29,求a、b的值.

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對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設f″(x)是函數y=f(x)的導數y=f′(x)的導數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”;
定義:(2)設x0為常數,若定義在R上的函數y=f(x)對于定義域內的一切實數x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,則函數y=f(x)的圖象關于點(x0,f(x0))對稱.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,請回答下列問題:
(1)求函數f(x)的“拐點”A的坐標
 
;
(2)檢驗函數f(x)的圖象是否關于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若函數f(x)=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值,則實數a等于
1
1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知下表為函數f(x)=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數值,為了便于研究,相關函數值取非整數值時,取值精確到0.01.
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據表中數據,研究該函數的一些性質:
(1)判斷f(x)的奇偶性,并證明;
(2)判斷f(x)在[0.55,0.6]上是否存在零點,并說明理由.

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