Question

已知f（x）=log_a（8-2^x），（a＞0，a≠1）
（1）若函數(shù)f（x）的反函數(shù)是其本身，求a的值；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的反函數(shù)是：
f^-1（x）=log₂（8-a^x），（2分）
由題意可得：
log_a（8-2^x）=log₂（8-a^x），
∴a=2（2分）
（2）由f（x）＞0得：
log_a（8-2^x）＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，8-2^x＞1（2分）
解得x的取值范圍：x＜log₂7（2分）．
分析：（1）先求出反函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)和原函數(shù)的解析式相同，求出a的值．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式可為：8-2^x＞1，再利用指數(shù)不等式求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的反函數(shù)的方法，對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，指、對(duì)不等式的應(yīng)用．