Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在區(qū)間（0，e]上的最大值為﹣3，求m的值；
（3）若x≥1時，有不等式f（x）≥ 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：易知f（x）定義域為（0，+∞）， ，令f'（x）=0，得x=1．

當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)

（2）解：∵g（x）=1+lnx+mx， ，x∈（0，e]，

①若m≥0，則g'（x）≥0，從而g（x）在（0，e]上是增函數(shù)，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合題意．

②若m＜0，則由g'（x）＞0，即 ，若 ，g（x）在（0，e]上是增函數(shù)，

由①知不合題意．

由g'（x）＜0，即 ．

從而g（x）在 上是增函數(shù)，在 為減函數(shù)，

∴ ，令ln（ ）=﹣3，所以m=﹣e3，

∵ ，∴所求的m=﹣e3

（3）解：∵x≥1時， 恒成立，∴ ，

令 ，

∴ 恒大于0，

∴h（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，

∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2

【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，判斷導(dǎo)函數(shù)符號，然后求解單調(diào)區(qū)間．（2）求出 ，x∈（0，e]，通過①若m≥0，②若m＜0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后求m．（3）利用x≥1時， 恒成立，分離變量，構(gòu)造函數(shù) ，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．