Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
①當(dāng)a=-4時(shí)，求f（x）的最小值；
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
③當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：①先求出其導(dǎo)函數(shù)，得到其在定義域上的單調(diào)性即可求出f（x）的最小值；
②先求出其導(dǎo)函數(shù)，把f（x）在（0，1）上單調(diào)增轉(zhuǎn)化為2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立?a≥-2x²-2x恒成立，再利用二次函數(shù)在固定區(qū)間上求最值的方法求出-2x²-2x的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
③根據(jù)（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立則a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2?a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t^{2再討論他的取值范圍}

解答：解：①∵f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0）
∴f′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

（2分）
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)減，在（1，+∞）上單調(diào)增
∴f（x）_min=f（1）=3（4分）
②f′(x)=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

（5分）
若f（x）在（0，1）上單調(diào)增，則2x²+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立?a≥-2x²-2x恒成立
令u=-2x²-2x，x∈（0，1），則u=-2(x+

1

2

)2+

1

2

，u_max=0
∴a≥0（7分）
若f（x）在（0，1）上單調(diào)減，則2x²+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立?a≤[-2x²-2x]_min=-4
綜上，a的取值范圍是：（-∞，-4]∪[0，+∞）（9分）
③（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2?a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]（10分）
當(dāng)t=1時(shí)，不等式顯然成立
當(dāng)t＞1時(shí)，?a≤

2[(2t-1)-t2]

ln(2t-1)-lnt2

在t＞1時(shí)恒成立（11分）
令u=

2[(2t-1)-t2]

ln(2t-1)-lnt2

，即求u的最小值
設(shè)A（t²，lnt²），B（2t-1，ln（2t-1）），kAB=

ln(2t-1)-lnt2

(2t-1)-t2

，
且A、B兩點(diǎn)在y=lnx的圖象上，又∵t²＞1，2t-1＞1，故0＜k_AB＜y'|_x=1=1
∴u=2•

1

k

＞2，故a≤2
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]（14分）

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用恒等式求函數(shù)的最值問(wèn)題，注意不要掉了自變量的取值范圍．