Question

設(shè)x=-1是f（x）=（x²+ax+b）e^2-x（x∈R）的一個極值點，
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b）并求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）是否存在實數(shù)m，使得對任意a∈（-2，-1）及λ₁λ₂∈[-2，1]總有|f（λ₁）-f（λ₂）|＜[（m+2）a+1]e³恒成立，若存在求出m的范圍．若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x

f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x 令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a

由于x=-1是f（x）的極值點，故x₁≠x₂，即a≠4
①當a＜4時，x₂＞x₁，故[-1，3-a]為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（-∞，-1]、[3-a，+∞）為f（x）
的單調(diào)減區(qū)間．…（4分）
②當a＞4時，x₂＜x₁，故[[3-a，-1]為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（-∞，3-a]、[-1，+∞）為f（x）的單調(diào)減區(qū)間…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，從而知f（x）在[-2，-1]單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，
f（x）的值域為[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e³，e⁴]…（8分）
假設(shè)存在實數(shù)m滿足題設(shè)，依題意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
則有

g(-2)≥0 g(-1)≥0

，解得

m≤- 1 2 (e+7) m≤-4-e

，即m≤-4-e
故存在實數(shù)m∈（-∞，-4-e]滿足題設(shè)．…（14分）