Question

設(shè)橢圓E

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓E上一點(diǎn)，AF₁⊥F₁F₂，原點(diǎn)到直線AF₂的距離是

1

3

|OF1|．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面積是e，求橢圓E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)m使∠BF₂C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由AF₁⊥F₁F₂，設(shè)A（-c，y），（y＞0），由點(diǎn)A在橢圓上，知y=

b2

a

，從而得A(-c，

b2

a

)，直線AF₂的方程為y=-

b2

2ac

(x-c)，由此能求出橢圓E的離心率e．
（Ⅱ）由題設(shè)

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

，從而能得到所求橢圓方程．
（Ⅲ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達(dá)定理和根的判別式能夠?qū)С龃嬖?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">m∈(

-2- 7

3

，

-2+ 7

3

)滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，不妨設(shè)A（-c，y），（y＞0），
又∵點(diǎn)A在橢圓上，∴y=

b2

a

，從而得A(-c，

b2

a

)，直線AF₂的方程為y=-

b2

2ac

(x-c)，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線AF₂的距離為

1

3

|OF1|，
即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，將c²=a²-b²代入上式化簡得a²=2b²，∴a²=2（a²-c²），

c2

a2

=

1

2

，e=

2

2

．
（Ⅱ）由題設(shè)

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

，∴b=1，c=1，a=

2

，所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅲ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達(dá)定理知x1+x 2=-

4

3

m，x1x2=

2

3

(m2-1)，
且△=（4m）²-4×3×2（m²-1）＞0，∴|m|＜

3

，由題設(shè)∠BF₂C是鈍角，
即

F2B

•

F2C

＜0．∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，∴2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²+1＜0，
∴

4

3

(m2-1)-

4

3

m(m-1)+m2+1＜0，∴3m²+4m-1＜0，
解得

-2- 7

3

＜m＜

-2+ 7

3

，上式滿足-

3

＜m＜

3

，
故存在m∈(

-2- 7

3

，

-2+ 7

3

)滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的求法，并判斷實(shí)數(shù)m是否存在，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．