Question

設函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對任意正實數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用賦值法，對于任意正實數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 ，即可求出 的值；
（2）先在定義域內任取兩個值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關系，根據(jù)單調增函數(shù)的定義可知結論；
解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 ，則 ，
∴（4分）

（2）設0＜x₁＜x₂，則
∵當x＞1時，f（x）＜0
∴（6分）
（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)（10分）．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，以及函數(shù)單調性的判斷與證明，屬于中檔題．