Question

20．已知函數(shù)f（x）=|ax-1|-（a-1）x
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，滿足不等式f（x）＞1的x的取值范圍為（2，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）化為分段函數(shù)，再解不等式即可，
（2）①）當(dāng)a≥1②當(dāng)0＜a＜1③當(dāng)a≤0三種情況，畫出f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象，利用圖象確定有無交點．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=|$\frac{1}{2}$x-1|+$\frac{1}{2}$x=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥2}\\{1，x＜2}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞1}\\{x≥2}\end{array}\right.$，
解得x＞2，
故x的取值范圍為（2，+∞），
（2）函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，
 ①當(dāng)a≥1時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點，
②當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

要使兩個圖象無交點，斜率滿足：a-1≥-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{2}$≤≤a＜1
③當(dāng)a≤0時，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點，
綜上①②③知：$\frac{1}{2}$≤a＜1
故答案為：（2，+∞），[$\frac{1}{2}$，1）

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的運用，如果函數(shù)的圖象能畫出，結(jié)合圖象解題形象而直觀，屬于中檔題．