Question

已知等比數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{y_n}滿足y_n·a=2(a＞0且a≠1)，y₄=17，y₇=11．

(Ⅰ)試問：數(shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)的和最大?最大值是多少?

(Ⅱ)設(shè)b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n；

(Ⅲ)試判斷，是否存在正整數(shù)M，使當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立，若存在，求出相應(yīng)的M，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)x_n=x₁q^n-1(x₁＞0且x₁≠1,q＞0)

由y_n==2log_ax_n

得y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a=2log_aq(常數(shù))

∴數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列 

由y₄=17，y₇=11得y_n=25-2n

令        得≤n＜     ∵n∈N^*， ∴n=12

∴數(shù)列{y_n}前12項(xiàng)和最大

現(xiàn)T_n為數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和，則T₁₂==144

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b_n=2^25-2n   ∴b₁=2²³，

∴{b_n}是以2²³為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列 ∴S_n= b₁+b₂+…+b_n=[1-()ⁿ]

(Ⅲ)由y_n=2log_ax_n得x_n=

由(Ⅰ)知，當(dāng)n＞12時(shí)y_n＜0恒成立

1°當(dāng)0＜a＜1且n＞12時(shí)，有x_n=＞a°=1

2°當(dāng)a＞1且n＞12時(shí)，有x_n＜1

故當(dāng)0＜a＜1時(shí)存在M=12使得當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立

當(dāng)a＞1時(shí)不存在M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立.