Question

若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，而且三邊又成等比數(shù)列，求證三角形三內(nèi)角都是60°．

Answer 1

分析：由三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列可知，此三角形必有一內(nèi)角為60°，今設(shè)其對邊為a，則三角形的三邊分別為

a

q

，a，aq（此處q為公比，且q＞0）再由余弦定理可得此三角形為等邊三角形，三個內(nèi)角均為60°．

解答：證明：由三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列可知，此三角形必有一內(nèi)角為60°，
今設(shè)其對邊為a，則三角形的三邊分別為

a

q

，a，aq（此處q為公比，且q＞0）
由余弦定理可得a2=(

a

q

)2+(aq)2-2•

a

q

•cos60°
1=

1

q2

+q2-2•

1

2

1

q2

-2+q2=0(

1

q

-q)2=0
，

1

q

=q，
∴q²=1q=1，q=-1（不合題意，舍去）
由q=1可知，此三角形為等邊三角形，
三個內(nèi)角均為60°．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用．