分析:(1)由題意可得:f(0)=0,解得a=1,注意驗證;
(2)把(1)的結(jié)論代入可得函數(shù),轉(zhuǎn)化為方程的根可得答案;
(3)求函數(shù)的反函數(shù)可得
log2=log4,由對數(shù)的運算性質(zhì)可得
k=,用換元法令m=1-x,由關(guān)于m的函數(shù)的范圍可得答案.
解答:解:(1)由奇函數(shù)的定義可得:f(-x)=-f(x),
取x=0即得f(0)=0,解得a=1,2分
經(jīng)驗證知當(dāng)a=1時,
f(x)=,此時滿足f(x)=-f(-x),
故當(dāng)a=1時,f(x)在R上的奇函數(shù),4分
(2)由(1)知:
f(x)=,故F(x)=
+
2x--1=
6分
由(2
x)
2+2
x-6=0,可得2
x=2,8分
所以x=1,即F(x)的零點為x=1. 10分
(3)由f
-1(x)=g(x)得
log2=log4,11分
由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)可得:
k+x= 12分
顯然當(dāng)
x∈[,]時k+x>0,即
k= 13分
設(shè)
m=1-x ,由于x∈[,] 所以m∈[,] 14分
于是
==2m+-5∈[4,] 15分
所以實數(shù)k的取值范圍
4≤k≤ 16分.
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性和零點,涉及對數(shù)的運算,屬中檔題.