Question

如圖，四邊形ABCD與A'ABB'都是邊長為a的正方形，點E是A'A的中點，A'A⊥平面ABCD
（1）求證：A'C∥平面BDE；
（2）求證：平面A'AC⊥平面BDE
（3）求體積V_A'-ABCD與V_E-ABD的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)BD交AC于M，連接ME．由三角形的中位線定理可得ME∥A'C，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到A'C∥平面BDE；
（2）根據(jù)已知條件，得到BD⊥AC，A'A⊥BD．由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面A'AC，再由面面垂直的判定定理，可得平面A'AC⊥平面BDE
（3）棱錐A'-ABCD與棱錐E-ABD的底面面積之比為2：1，高之比也為2：1，代入棱錐體積公式，即可求出體積V_A'-ABCD與V_E-ABD的比值．
解答：證明：（1）設(shè)BD交AC于M，連接ME．∵ABCD為正方形，所以M為AC中點，
又∵E為A'A的中點∴ME為△A'AC的中位線∴ME∥A'C
又∵M(jìn)E?平面BDE，A'C?平面BDE∴A'C∥平面BDE．                        …（4分）
（2）∵ABCD為正方形∴BD⊥AC…（6分）
∵A'A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴A'A⊥BD．
又AC∩A'A=A
∴BD⊥平面A'AC．
∵BD?平面BDE
∴平面A'AC⊥平面BDE…（8分）
解：（3）V_A'-ABCD：V_E-ABD=4：1…（12分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間中直線與平面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征及棱錐的體積公式是解答本題的關(guān)鍵．