Question

已知函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，給出下列三個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為原點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為原點(diǎn)的四邊形為菱形．
其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、無內(nèi)容
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：①由偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
②由解析式做出大致圖象：根據(jù)圖象和等腰直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可；
③取兩個(gè)自變量是有理數(shù)，使得另外兩個(gè)無理數(shù)差與兩個(gè)有理數(shù)的差相等，即可得出此四邊形為平行四邊形．

解答：解：①若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，∴f（x）=f（-x）=1，
若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，∴f（x）=f（-x）=0，
綜上有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴①正確．
②根據(jù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，可知：
假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1，
不妨假設(shè)A，B在x軸上，如圖
故斜邊AB=2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)不可能是無理數(shù)，否則O點(diǎn)不再是中點(diǎn)，故不存在．
另外，當(dāng)AB在y=1上，C在x軸時(shí)，由于AB=2，則C的坐標(biāo)應(yīng)是有理數(shù)，
故假設(shè)不成立，即不存在符合題意的等腰直角三角形，②錯(cuò)誤；
③根據(jù)②做出的圖形知，
取兩個(gè)自變量是有理數(shù)，使得另外兩個(gè)無理數(shù)差與兩個(gè)有理數(shù)的差相等，
即可畫出平行四邊形，且是對角線相互垂直，
可以做出以點(diǎn)（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，③正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的 推理和想象能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．