Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；

若對，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）求出切點坐標(biāo)，寫出切線方程，利用切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求得a即可．

（2）對a分類討論，易判斷當(dāng)或當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，根據(jù)單調(diào)性得出結(jié)論，當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 故，又因為，成立.而的最大值為，將最大值構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后求解結(jié)果．

求導(dǎo)得，所以.

又，所以曲線在處的切線方程為.

由切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，得，解得即為所求.

對，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

①當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，由恒成立，得，這與矛盾，故舍去.

②當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，由恒成立得，結(jié)合得.

③當(dāng)時，因為，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合零點存在定理可知，存在唯一，使得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故，由恒成立知，，，所以.

又的最大值為，由得，

所以.

設(shè)，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，于是，即.所以不等式恒成立.

綜上所述，所求的取值范圍是.