Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA1=2

3

，D、E分別為AA₁、BC₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析：（I）取BC的中點F，連結(jié)AF，可得AF∥DE，可證AF⊥平面BB₁C₁C，從而證DE⊥平面BB₁C₁C．
（II）由（Ⅰ）知，DE是三棱錐C-BC₁D底面BCC₁上的高，求出AF即是DE的大小，求出S△BCC1，計算出三棱錐C-BC₁D的體積．

解答：解：（I）證明：如圖
取BC，B₁C₁的中點F、G，連結(jié)FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁
∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AF；
B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
又AD∥EF，且AD=EF=

1

2

AA₁，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面BB₁C₁C，∴DE是三棱錐C-BC₁D底面BCC₁上的高，
又DE∥AF，且DE=AF=

3

2

AB=

3

2

×2=

3

，
S△BCC1=

1

2

×BC×CC₁=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∴三棱錐C-BC₁D的體積為：
V三棱錐C-BC1C=

1

3

×S_△ABC×DE=

1

3

×2

3

×

3

=2．

點評：本題考查了空間中的直線與平面垂直的判定與三棱錐體積的計算問題，是中檔題．