Question

已知函數．
（1）判斷函數f（x）的單調性；
（2）用定義證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對勾函數的圖象和性質，我們易判斷出函數f（x）在（0，2]上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增．
（2）設0＜x₁＜x₂≤2，根據x₁-x₂＜0，，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，進而根據減函數的定義得到函數f（x）在（0，2]上單調遞減；
設2＜x₁＜x₂，根據x₁-x₂＜0，，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，進而根據增函數的定義得到函數f（x）在（0，2]上單調遞增．
解答：解：（1）f（x）在（0，2]上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增．
證明（2）設0＜x₁＜x₂≤2，則
因0＜x₁＜x₂≤2，所有x₁-x₂＜0，，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（0，2]上單調遞減．
設2＜x₁＜x₂，則
因2＜x₁＜x₂，所有x₁-x₂＜0，，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，其中熟練掌握定義法（作差法）證明函數單調性的方法和步驟是解答本題的關鍵．