Question

在銳角△ABC中，

b2-a2-c2

ac

=

cos(A+C)

sinAcosA

．
（1）求角A；
（2）若a=

2

，當(dāng)sinB+cos（

7π

12

-C）取得最大值時(shí)，求B和b．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）由余弦定理，結(jié)合條件，可得sin2A=1，即可求角A；
（2）先得出B=

π

3

時(shí)，sinB+cos（

7π

12

-C）取得最大值

3

，再利用正弦定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由余弦定理可得

-2accosB

ac

=

-cosB

sinAcosA

∵△ABC是銳角三角形，
∴cosB＞0，
∴sin2A=1，
∴2A=

π

2

，
∴A=

π

4

；
（2）由（1）知，B+C=

3π

4

，
∴sinB+cos（

7π

12

-C）=sinB+cos（B-

π

6

）=sinB+cosBcos

π

6

+sinBsin

π

6

=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

）
∵0＜

3π

4

-B＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，
∴

π

4

＜B＜

π

2

，
∴

5π

12

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，sinB+cos（

7π

12

-C）取得最大值

3

，
由正弦定理可得b=

asinB

sinA

=

2 × 3 2

2 2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理是關(guān)鍵．