Question

已知函數(shù)f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，其中a＜0．
（1）當(dāng)a=-4時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-4時，先求導(dǎo)，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個方程，從而求出參數(shù)的值．

解答： 解；（1）當(dāng)a=-4時，f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，
∴f（x）=（4x²-16x+16）

x

，
∴f′（x）=（8x-16）

x

+（4x²-16x+16）

x

2x

=2

x

（5x+

4

x

-12）=

2 x

x

(5x2-12x+4)，
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x²-12x+4＞0，
解得，0≤x＜

2

5

，或x＞2，
∴當(dāng)a=-4時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

2

5

）和（2，+∞）；

（2）∵f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，
∴f′(x)=

x

2x

(20x2+12ax+a2)；
令f′（x）=0．解得x=-

a

10

，或x= -

a

2

，
當(dāng)f′（x）＞0時，x∈（0，-

a

10

）或(-

a

2

，+∞)，此時f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，x∈（-

a

10

，-

a

2

），此時f（x）單調(diào)遞減，
①當(dāng)-

a

10

≥4，即a≤-40，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，由f（1）=8，解得a=-2-2

2

，不符合舍去
②當(dāng)-

a

2

≤1，即-2≤a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，由f（1）=8，解得a=-2-2

2

，不符合舍去
③當(dāng)-

a

10

≤1，-

a

2

≥4即-10≤a≤-8時，f（x）在區(qū)間[1，4]為減函數(shù)，由f（4）=8，解得a=-10，
④當(dāng)1＜-

a

10

＜4，即-40＜a＜-10時，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=-2-2

2

，或a=-6，a=-10，不符合舍去，
⑤當(dāng)1＜-

a

2

＜4，即-8＜a＜-4時，由f（-

a

2

）=8，無解．
綜上所述，a=-10．

點(diǎn)評：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是分類討論．對學(xué)生的能力要求較高，屬于難題