Question

已知二項(xiàng)式(5x-

1

x

)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大240，
（1）求n；
（2）求展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開式中所有x的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由于各項(xiàng)系數(shù)之和為M=4ⁿ，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2ⁿ，M-N=240=4ⁿ-2ⁿ，解方程求得 n 的值．
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為1得到系數(shù)，得到結(jié)果．
（3）根據(jù)第二問寫出的結(jié)果，使得x的指數(shù)是整數(shù)，列舉出有三個(gè)結(jié)果，寫出這幾項(xiàng)即可．

解答：解：（1）由已知得：4ⁿ-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4…（3分）
（2）通項(xiàng)Tr+1=

C

r 4

(5x)4-r(-

1

x

)r=

C

r 4

54-r(-1)rx4-

3

2

r，
令4-

3

2

r=1⇒r=2
所以含x項(xiàng)的系數(shù)：C₄²5²（-1）²=150…（8分）
（3）由（2）得：4-

3

2

r∈Z，(r=0，1，2，3，4)，即r=0，2，4
所以展開式中所有x的有理項(xiàng)為：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查各項(xiàng)系數(shù)之和，與二項(xiàng)式系數(shù)之和的關(guān)系，得到 各項(xiàng)系數(shù)之和為M=4ⁿ，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2ⁿ，是解題的關(guān)鍵．